上海普陀区第一学期初三数学期中测试一试卷
1、选择题（本大题共6小题，共24.0分）
已知线段a、b满足
，那样下列等式中，正确的是
A. 
B. 
C. 
D. 
【答案】C
【分析】解：由可得：
，
，
，
故选：C．
依据比率的性质，对所给选项进行整理，找到肯定正确的选项即可．
考查比率性质的变形；常见的办法应熟知．
如图，在中，点D、E分别在边AB、AC上，联结DE，假如AD：
：3，那
么下列条件中能判断
的是
A. 
B. 
C. 
D. 
|
【答案】B
【分析】解：只有选项B正确，
理由是：
：：3，
，
，
，，
，∽，，
，
依据选项A、C、D的条件都不可以推出，
故选：B．
先求出比率式，再依据相似三角形的断定得出
∽，依据相似推出
，依据平行线的断定得出即可．
本题考查了平行线分线段成比率定理，相似三角形的性质和断定的应用，能灵活运用定理进行推理是解此题的重点．
在平面直角坐标系中，将抛物线平移后发现新抛物线的最高点坐标为，那样新抛物线的表达式为
A. B. 
C. 
D. 
【答案】A
【分析】解：原抛物线分析式为，的顶点坐标是，平移后抛物线顶点坐标为，
平移后的抛物线的表达式为：．
故选：A．
平移不改变抛物线的开口方向与开口大小，即分析式的二次项系数不变，依据抛物线的顶点式可求抛物线分析式
本题考查了抛物线的平移与分析式变化的关系重点是明确抛物线的平移实质上是顶点的平移，可以用顶点式表示平移后的抛物线分析式．
如图，二次函数的图象与x轴交于
、两点
那样下列关于此抛物线的说法：
抛物线的对称轴是直线；
；
；
中，正确的个数有
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
|
【答案】C
【分析】解：二次函数的图象与x轴交于、两点，该函数的对称轴是直线，故正确，
由函数图象，可得
，，
，
故
正确，
错误，
故选：C．
依据题意和函数图象，可以判断每个小题中的结论是不是正确，本题得以解决．
本题考查二次函数图象与系数的关系，解答本题的重点是明确题意，借助二次函数的性质和数形结合的思想解答．
已知、
为非零向量，下列说法中，不正确的是
A.
B.
C. 假如，那样
D. 假如，那样
或
【答案】C
【分析】解：A、
，正确；
B、
，正确；
C、假如，那样，错误，可能共线；
D、假如
，那样
或
，正确；
故选：C．
依据非零向量的性质，一一判断即可；
本题考查平面向量，解题的重点是熟练学会入门知识，是中考常考试试题型．
如图，在中，点D、E分别在边AB、AC上，，
，那样下列判断中，不正确的是
A. 
∽
B. ∽
C. ∽
D. ∽
【答案】D
【分析】解：点D、E分别在边AB、AC上，，∽．
故A正确；
，
∽．
故B正确；，
，
∽，∽，
故C正确；与
未必相似，
故D不正确；
本题选择不正确的，
故选：D．
如果是两个三角形中两组角对应相等，那样这两个三角形相似，依据此断定作判断即可．
本题考查相似三角形的断定定理，要熟记这类断定定理才能灵活运用．
2、填空题（本大题共12小题，共48.0分）
假如线段m是线段a、b、c的第四比率项，已知，，
，那样线段m的长等于______．
【答案】10
【分析】解：线段m是线段a、b、c的第四比率项，，，，，
，，
故答案为：
10．
依据第四比率项的定义，得a：
：m，再依据比率的基本性质，求得第四比率项．
本题考查了比率线段，熟练学会第四比率项的定义是重点，书写比率式时应该注意顺序．
假如点P是线段AB的如黄金分割点，且
，，则______．
【答案】4
【分析】解：因为P是线段AB的黄金分割点，
且AP为较长线段，
则，，
则．
故答案为：4．
依据黄金分割点的概念，知AP是较长线段；则，代入数据求解即可．
本题考查了黄金分割点的定义熟记黄金比的值列方程进行计算．
假如向量知与单位向量
的方向相反，且知，那样知______
用表示
【答案】
【分析】解：向量知与单位向量的方向相反，且知，，
故答案为．
由向量知与单位向量的方向相反，且知，依据向量的概念，即可求得答案．
此题考查了平面向量的常识此题比较简单，注意学会单位向量的常识．
已知点在二次函数的图象上，那样n的值为______．
【答案】6
【分析】解：在二次函数的图象上，满足二次函数，
，即，
故答案是：6．
将代入二次函数的关系式，然后解关于n的方程即可．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特点二次函数图象上所经过的点，均能满足该函数的分析式．
假如二次函数图象的对称轴是y轴，那样______．
【答案】4
【分析】解：二次函数图象的对称轴是y轴，，．
故答案为：4．
由二次函数图象的对称轴为y轴，借助二次函数的性质可得出，解之即可得出m的值．
本题考查了二次函数的性质与二次函数的图象，由二次函数图象的对称轴为y轴找出是解题的重点．
沿着x轴正方向看，抛物线
在对称轴左边部分是______的填“上升”或“降低”
【答案】降低
【分析】解：由于，
所以抛物线在对称轴左边部分是降低的，
故答案为：降低
依据二次函数的性质解答即可．
本题主要考查二次函数的性质，学会二次函数的性质是解题的重点．
如图，AC、BD相交于点O，分别联结AB、DC，假如，，，，那样
______．
|
【答案】3
【分析】解：，，∽DOC，，
，
．
故答案为3．
由，得到
∽DOC，然后列出方程求出OC的长．
本题考查了相似三角形的断定与性质，正确找出三角形相似列出方程是解题的重点．
如图
的中线AD、BE相交于点G，过点G作交BC于点H，假如
，那样______．
|
【答案】6
【分析】解：的中线AD、BE相交于点G，，
，，，
故答案为：6
依据三角形重心的性质和相似三角形的断定和性质解答即可．
本题考查的是相似三角形的断定和性质和三角形的重点的定义和性质，学会三角形的重点是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍是解题的重点．
如图，梯形ABCD中，，AC与BD相交于点O，已知，那样______．
|
【答案】1：2
【分析】解：
，∽，，：：2，
：：2
故答案为1：2．
依据三角形一样的断定办法由得到∽，再依据相似三角形的性质得，然后依据三角形面积公式得到结论．
本题考查了相似三角形的断定与性质：平行于三角形一边的直线与其他两边所截得的三角形与原三角形相似；相似三角形面积的比等于相似比的平方也考查了三角形面积公式．
如图，在中，点D、E分别在边AB、AC的反向延长线上，，，设，，那样向量用向量、表示为______．
|
【答案】
【分析】解：，，，，，，，
故答案为
依据，只须求出，即可；
本题考查平行线分线段成比率定理，平面向量等常识，解题的重点是熟练学会三角形法则，是中考常考试试题型．
假如抛物线L：其中a、b、c是常数，且与直线l都经过y轴上的同一点，且抛物线的顶点P在直线l上，那样称该直线l是抛物线L的“梦想直线”假如直线l：是常数是抛物线L：
是常数的“梦想直线”，那样
的值是______．
【答案】0
【分析】解：在
中，令可求得，在中，令可得
，直线与抛物线都经过y轴上的一点，
，抛物线分析式为，抛物线顶点坐标为，抛物线顶点在直线上，，解得，，
故答案为：0．
由直线可求得与y轴的交点坐标，代入抛物线可求得n的值，再由抛物线分析式可求得其顶点坐标，代入直线分析式可求得m的值．
本题考查了二次函数的性质，一次函数图象上点的坐标特点，二次函数图象上点的坐标特点，理解题目中“梦想直线”的概念是解题的重点．
如图，在中，，，，将绕点A旋转得到，点E、F分别是点B、C旋转后得到的点，假如，直线AE交BC的延长线于点D，那样DE的长为______．
【答案】或
【分析】解：如图，当点D在线段AE上时，，，，，，∽，，，，
如图，当点D在线段EA的延长线上时，，
综上所述，DE的长为或．
分两种情形分别求解即可解决问题．
本题考查旋转变换、平行线的性质、相似三角形的断定和性质等常识，解题的重点是掌握用分类讨论的思想考虑问题，是中考常考试试题型．
3、计算题（本大题共1小题，共10.0分）
已知二次函数图象经过点、点和点，求该二次函数的分析式，并指出图象的对称轴和顶点坐标．
【答案】解：把点、点和点代入二次函数中，得，
解得，抛物线代分析式为，
化为顶点式为，对称轴为直线，顶点坐标为．
【分析】依据待定系数法求抛物线代分析式即可．
本题考查了用待定系数法求抛物线代分析式，学会待定系数法和顶点坐标的求法是解题的重点．
4、解答卷（本大题共6小题，共68.0分）
如图：已如两个不平行的量、，先化简，再求作不需要写作法，但要保留作图痕迹，并写出表示结论的向量
|
【答案】解：．
画出向量，如图所示．
【分析】将原式化简为，再的末尾画出，再首尾相连，即可得出．
本题考查了平面向量，将原式化简为是解题的重点．
如图，在平面直角坐标系xOy中，将抛物线向右平移2个单位得到抛物线，且平移后的抛物线经过点．求平移后抛物线的表达式；
设原抛物线与y轴的交点为B，顶点为P，平移后的新抛物线的对称轴与x轴交于点M，求的度数．
| |
【答案】解：把代入得，解得，平移后抛物线的表达式为
；抛物线向右平移2个单位得到抛物线，原抛物线分析式为
，点坐标为，
当时，，点坐标为，平移后抛物线的表达式为，平移后抛物线的对称轴为直线，，，，，，
，为等腰直角三角形，，．
【分析】把A点坐标代入中求出a得到平移后抛物线的表达式；借助抛物线平移的规律得到原抛物线分析式为，则P点坐标为，易得B点坐标为，，借助勾股定理的逆定理可断定为等腰直角三角形，，从而得到的度数．
本题考查了二次函数的几何变换：因为抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线分析式一般可借助两种办法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，借助待定系数法求出分析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出分析式也考查了二次函数的性质和等腰直角三角形的断定与性质．
如图，在平行四边形ABCD中，点G在边DC的延长线上，AG交边BC于点E，交对角线BD于点F．求证：；假如，，求的值．
|
【答案】证明：四边形ABCD是平行四边形，，，∽，∽，，，，．∽，∽，由得出；，，．
【分析】由四边形ABCD是平行四边形可得，，从而可得∽，∽，则有，，就有，即．依据比率的性质解答即可．
本题主要考查了平行四边形的性质、相似三角形的断定与性质、等量代换等常识，把证明转化为证明，是解决本题的重点．
如图，在中，，于点D，E是AC的中点，DE的延长线与BC的延长线交于点F．求证：∽；求证：．
| |
【答案】证明：，，是AC的中点，，，，，，，，，∽；∽，，∽，
，．
【分析】依据直角三角形斜边上中线性质求出，推出，求出，依据证∽，即可；由可知FBD∽，所以，由已知条件可证明∽所以即．
本题考查了相似三角形的断定和性质与直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，解题的重点是由相似得到比率式．
如图，在平面直角坐标系xOy中抛物线与x轴的正半轴交于点，交y于点C，顶点，直线AB与y轴交于点D．求抛物线的表达式；联结BC，假如点P在x轴上，且与相似，求出点P坐标．
|
【答案】解：设抛物线分析式为：，
把代入，得，
解得．
故该抛物线分析式为：或．如图，连接BC，PC，
设．
设直线AB的分析式为：，，，，
解得．
则直线AB的分析式为：．
易得．
由抛物线分析式得到：，，，．
易求，，，，．
结合图形知，．当∽时，，即，
解得舍去或，
此时点P的坐标是；当∽时，，即，
解得舍去或，
此时点P的坐标是；
综上所述，点P的坐标是或．
【分析】设抛物线分析式为：，将点B的坐标代入求值即可；设依据函数分析式求得点C的坐标，由点A、B的坐标求得直线AB的分析式，从而得到点D的坐标，然后由点的坐标可以求得的边长，所以结合相似三角形的对应边成比率求得点P的坐标注意：在中，只能是钝角．
主要考查了二次函数的分析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养要会借助数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，借助点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．
如图，在矩形ABCD中，，过点B作
交AC于点E，分别交边AD于点F，交射线CD于点G．求证：∽；连接AG，设，的面积为y，求y关于x的函数分析式，并写出x的取值范围；在第小题的条件下，是不是存在以AC为腰的等腰三角形ACG，若存在，求出x的值；若没有，请说明理由．
| |
【答案】证明：四边形ABCD是矩形，，，，，，∽．根据题意画出图形，如图1所示．∽，，即，，．，．，∽，，即，，．交AC于点E，交射线CD于点G，．
若，，不合题意舍去
若，
【分析】由题意可得，即可证∽；由相似三角形的可求，，由三角形面积公式可求y关于x的函数分析式；分，两种状况讨论，由等腰三角形的性质可求解．
本题是相似三角形的综合题，考查了相似三角形的断定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练运用这类性质进行推理是本题的重点．
